マートン・モデル(Merton model)による倒産確率の計算　with　MAXIMA and Excel

マートン・モデルに基づいて倒産確率を計算する方法を探究してみた。この分野では正確な理解のためにはウイナー過程といった確率過程や伊藤の公式(Ito’s lemma)などの数学的知識が要求されるようだ。しかし、そこまで至らなくても、大体どのような手順で倒産確率を計算しているのかを知っておくのも面白いと思い、数学の素人がMAXIMAやエクセルを使って分かる範囲で探ってみた。

複式簿記の原理で広く知られていることだが、貸借対照表では企業の資産は負債と株主資本（純資産）の合計に等しい。

資産(V)＝負債(B)＋株主資本(S)　

この関係は時価ベースでも成立するが、常時、このような数値を観測することは株式時価を除いては不可能である。上場企業といえども決算発表は年に4回であり、日々の企業の資産価値を知ることはできないし、ましてや秒単位の変動など観測不能である。しかし上場企業であれば株式の時価は観測できるので

株価発行済株式数＝株主資本（時価ベース）も観測可能となる。話を単純にするため負債は満期日に一括返済する額面Bの割引債とする。満期日の返済額はBと分かっているが現在の時価は未知数となる。従って、現時点では

V(未知数）＝B（その時価は未知数）＋S（観測可能で既知）

という関係が成り立っている。　

　マートンモデルでは満期日に資産から負債を返済するが満期時点で

資産(V)＞負債(B)

であれば資産から負債を完済し、残りは株主価値となる。

資産(V)＜負債(B)　

であれば株主は株主持分を放棄して何も得ないが株主有限責任でそれ以上の損を被ることはない。しかし、債権者は回収不能部分だけ損失を受ける。このような状態を倒産と解釈することができる。算式で整理すると

\(V_{t}=S_{t}+B_{t}\) \(0\le t\le T\)

\(V_{t}>B_{t}\)

\(B_{T}=B,S_{T}=V_{T}-B\)

\(V_{t}<B_{t}\)

\(B_{T}=V_{T}\), \(S_{T}=0\)

株式をコールオプションとみるマートンモデル

このようなペイオフの関係はヨーロッパ型コールオプションの満期日のペイオフと同じであり、株式を、資産（V)＝原資産、負債（B)＝権利行使価格、株式時価＝コールプレミアム　といったコールと見なすことができる。

ヨーロッパ型コールオプションと同じペイオフとなれば有名なブラック・ショールズの公式にこれをあてはめることができる。マートンはこの公式の前提に加えて資産Vは幾何ブラウン運動に従うと仮定した。

ここからはブラックショールズモデルのコールオプション価格の算式を使って検討してみる。参考文献として

John C Hull(2003) Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice Hall

のchapter 26 　credit riskを参考にしている。最近の改定版では章が変わっているかもしれない。

資産（V)＝原資産、負債（B)＝権利行使価格、株式時価＝コールプレミアム　として

ブラックショールズ式にあてはめると以下のようになる。

\(S=VN(d1)-Be^{-rt}N(d2)\)

\(d1=\frac{log(\frac{V}{E})+(r+\sigma^{2}_{V}/2)T}{\sigma_{V}\sqrt{T}}\)

\(d2=d1-\sigma_{V}\surd T\)

N(.)は標準正規分布（累積分布）関数

株価をブラック・ショールズ式で表されるコール価格とした数式

\(S=VN(d1)-Be^{-rt}N(d2)\)

この式をEQ－A　としておく。

ブラックショールズ式におけるN(d2)は満期日にin the money(ITM)つまり権利行使される確率と解釈される。ここでは　資産(V)＞負債(B)　の状態にある確率と解釈される。従って権利行使されない確率、つまり　資産(V)＜負債(B)　の状態になる確率は　１－N(d2) で計算できる。これが倒産確率と解釈できる。

\(V_{t}<B_{t}\)

\(P(V_{t}<B_{t}=1-N(d2)=N(-d2)\)

正規分布の密度関数は釣鐘状で左右対称なので累積分布関数では

1-N(d2)=N(-d2)

の関係が次図のように成立する。

正規分布表

グラフから、N(-1)=0.1586　N(1)=0.8414と読める。正規密度関数を－\(\infty\)から\(\infty\)まで積分すると　N(\(\infty\)）＝１

正規密度関数を－\(\infty\)から－１まで積分すると

N(-１）＝0.1586

正規密度関数を－\(\infty\)から＋１まで積分すると

N(１）＝0.8414

となることを表している。

エクセルの関数NORMSDIST()を使って

NORM.S.DIST(－1,TRUE) =0.1586

で検算できる。

マートンは V(未知数）＝B（未知数）＋S（観測可能で既知）という式で表されるVつまり資産は幾何ブラウン運動に従うと考えるので

\(dV=\mu Vdt+\sigma VdW_{t}\)

といった確率微分方程式で表す。

ここで

\(V\)=資産時価

\(\sigma\)=資産価値のボラティリティ

\(\mu\)=資産の期待収益率

dW は標準ウイナー過程を表す。

マートンのアイディアは観測不能な資産時価とそのボラティリティを未知数として、ブラックショールズ式から観測可能な株式時価と株式ボラティリティを使って未知数間の一定の関係式を導出して解を求めようとするものである。

株価（ブラックショールズ式にあてはめるときにはコールプレミアムと見なされる）は資産V（幾何ブラウン運動をすると仮定されている）から成る合成関数になるので、伊藤の公式(Ito’s lemma)を適用することができる。つまり、株価Sは資産Vの関数で表され、伊藤の公式を使って確率微分できる。

\(dS=\left(\frac{\partial S}{\partial t}+\mu V\frac{\partial S}{\partial V}+\frac{1}{2}\sigma^{2}V^{2}\frac{\partial^{2}S}{\partial V^{2}}\right)dt+\left(\mathinner{\color{red}\frac{\partial S}{\partial V}}{\color{red}\sigma V}\right)dW_{t}\)

株価Sもウイナー過程に従うので

\(dS=\mu_{S}Sdt+{\color{red}\sigma_{S}S}dW\)

S=株価

\(\sigma_{S}\)=株式ボラティリティ

\(\mu_{S}\)=株式の期待収益率

dW は標準ウイナー過程

で表す確率微分方程式で表現される。

\(dS=\mu_{S}Sdt+\sigma_{S}SdW\)　と株価Sは（資産Vの関数であるコール価格）として変換された確率微分方程式は同じなので赤色部分のｄWの項は等しいはずである。

そこから

\(\sigma_{S}S=\left(\frac{\partial S}{\partial V}\sigma V\right)\)

の関係式が導かれる。

ブラックショールズ式ではデルタが

\(\partial S/\partial V=N(d1)\)

で表せるので下記のような、もう一本の方程式が導出できる。

\(S=\frac{\sigma}{\sigma_{S}}N(d1)V\)

この式をEQ－B　としておく。

EQ-AとEQ-Bの２本の方程式から資産時価Vとそのボラティリティσ を求める作業となる。非線形の連立方程式で代数的には解けないので数値計算で解を近似計算する。

Hullのテキストの設例を使って倒産確率を計算

計算例はHullのテキストの設例を利用することにする。

S(株価）＝３

V(資産時価)=未知数

B(満期日の負債)=権利行使価格＝１０

ｒ(リスクフリー利子率)=0.05

T(満期までの年数)=　1

σ 資産のボラティリティ＝未知数

S 株式のボラティリティ＝0.8

数学ソフトMAXIMAを使って非線型連立方程式を解いてみる。

上記の設例に従って数学ソフトMAXIMAによる計算は以下のようである。

エクセルのソルバーで解いてみる

ワークシートにブラックショールズ式の計算式EQ-Aともう一つの方程式EQ-Bを作り、それぞれが株式時価と等しくなるようにする。具体的には計２本の方程式の解と株価（既定値）との誤差の二乗和が最小となるようにソルバー使って求めることになる。式で示せば

\(F(V_{,}\sigma_{V})=VN(d1)-Be^{-rt}N(d2)-S=0\)

\(G(V_{,}\sigma_{V})=\frac{\sigma_{V}}{\sigma_{S}}N(d1)V-S=0\)

\(F(V_{,}\sigma_{V}){}^{2}+G(V_{,}\sigma_{V}){}^{2}\)

マートンモデル

ワークシートの作り方は各自の好み次第であるが、ちなみに一例を示しておく。マーカー部分は既知数である。ソルバーを起動する前に未知数であるVとstd(V)つまりセル$C$3と$C$9には仮の暫定値として１をそれぞれ入力しておく。

ワークシート（計算結果）

このようにして連立方程式を

解くことで

倒産確率=0.1269

資産価値V＝12.395

が求まる。

その他にも

負債時価=12.395-3=9.395

負債Bの現在価値=10*EXP(-0.05*1)=9.512

予想損失(EL)=0.1169＝

9.512-9.395

が計算できる。

予想損失をEL(Expected Loss)、倒産（デフォルト）確率をPD、倒産時点での貸付金時価をEAD(Exposure at default)、倒産した場合の損失率LGD（Loss given default)とすると、予想損失ELは以下の式で示せる

EL=PD　ｘ LGD　ｘ　EAD　=PD　ｘ (1-RR)　ｘ　EAD

従って

LGD=EL/EAD/PD=

0.1169/9.512/0.1269=

0.0967

RR=1-LGD=1-0.0967=0.9032

なども計算できる。

ここで債権者の立場、つまり割引債Bに１０を投資している立場からみると、割引債の時価は一物一価の法則が成立する世界では上記の計算のように理論的に9.395となる。満期には１０の返済が見込まれるが、その現在価値は9.512なので時価ベースで考えた予想損失(EL)は9.512-9.395=0.1169となる。ここで債権者は0.1169について貸倒引当金を計上すべきとする考えも出てくるだろう。この辺は会計理論とファイナンス理論の融合をどのように考えるかという大きなテーマになってくるのだろう。

マートンの当初のモデルでは満期日の倒産確率しか計算できないが、負債を満期に一括返済するのでなく段階的に返済する場合や満期日前の倒産確率が計算できるような拡張モデルも開発されており、大手格付け会社により商標登録されているモデルもあるようだ。しかし基本的な考え方はマートンのオリジナルのモデルがベースとなっているようだ。

標準正規分布グラフと標準化normal distribution plot in MAXIMA

対数正規分布と株価の区間推定(lognormal distribution and　confidence interval of stock price)