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CAPM(資本資産評価モデル）, ベータ（β）計算例とモデル導出まで with EXCEL

　ＣＡＰＭは大変に有名でファイナンスのテキストでは必ず取り上げられている。理論に精通している人には自明のことでも素人には何かと疑問に感じることがあると思う。千人のうち３人ぐらいは同じ疑問を持っているかもしれないと思い自分の疑問点をエクセルを使って探ってみた。疑問というのは、例えばＡとＢの２株式のポートフォリオの例でいえば、市場ポートフォリオの収益率とＡ株の収益率の関係式でβを計算している。与えられたデータはＡ株とＢ株の収益率と分散共分散だけで別途に市場ポートフォリオの収益率や分散共分散は与えられていない。もしこのようなデータが与えられていれば市場ポートフォリオの収益率を説明変数、Ａ株の収益率を被説明変数として単純回帰によりβを求めることが思いつくが、特にそのようなデータは与えられていない。ここで市場ポートフォリオの設定のあたりに何か絡繰りがありそうだと思い簡単な設例で実験してみた。
　設例としてはA株とB株の2株式だけで、投資家は何時でも２％の金利で借入や貸付が可能な世界を想定している。投資家は1期間のポートフォリを運用を考えており、年初０で年末１の経済状態を予想して年初０時点での最適ポートフォリオを考える。例えばA株については1年後の景気が上向く、現状維持、下向く、などの シナリオ分析で期待収益率の確率分布を想定する。今から1年後の確率分布を織り込んで現在（年初０時点）での株価は形成される。１年後の価格が高いと予想されれば需要は増加し、現在の株価は上昇し、逆の予想であれば低下する。このような市場での価格調整が行われて需給が均衡した時に形成された株価が年初０時点での均衡株価となる。仮にA株の１年後の株価が４１．６と予想されるとA株の期待収益率は４％（＝４１．６／４０－１）、B株の予想株価が５３であれば期待収益率は６％（＝５３／５０－１）。このように株式の期待収益率を全ての投資家が同じように予想すると仮定する。収益率の分散や共分散も全ての投資家が同じように予想すると仮定する。このようにして得られた年初０時点での情報が下記のようになったとする。
年初0時点での均衡株価はA株は４０、B株は５０とする。
(efficient portfolio of two stocks and a risk-free asset)



リスク回避的な個別の投資家は無リスク資産が存在する場合にはリスク資産のポートフォリオとして接点ポートフォリオを選択する。つまり下記の図の資本市場線上のMをリスク資産のポートフォリオとして保有することが最適な選択となる。
 計算設例は　エクセルで資本市場線（CML)と市場ポートフォリオ　と全く同じなので接点ポートフォリオの計算などはこのページを参照されたい。


資本市場線グラフ



Mでの接点ポートフォリオ(tangency portfolio)でのA株とB株の投資比率は以下のように計算される。(finding the tangency portfolio)
（投資比率等の計算過程は　エクセルで資本市場線（CML)と市場ポートフォリオ　を参照されたい）

A　投資比率	0.272727273
B　投資比率	0.727272727
合計	1

この投資比率を使って接点ポートフォリオMの期待収益率と分散等を求めると以下のようになる。




経済全体で考えた場合、全ての投資家が保有するリスク資産を合計したものを市場（マーケット）ポートフォリオと定義すれば、均衡状態での市場ポートフォリオはすべての接点ポートフォリオを総合計したものに等しくなる。従って市場ポートフォリオは効率的で銘柄別構成割合はA株２７．２７％、B株７２．７３％となる。

市場ポートフォリオは分散投資効果により非システマティックリスク（個別の企業に特有のリスク、例えば大幅減益、訴訟など）を限りなく削減しているが、システマティックリスク（全ての企業が共通して影響を受けるような不確実性、例えばGDPや金利などの変動）は依然として残っている。分散投資された効率的ポートフォリオを保有する投資家にとっては、個別株式の収益率とシステマティックリスクとの関係性に関心を持つ。投資家は個別の株式に関しては、このシステマティックリスクの相対的な影響が大きい株式にはより大きな収益率を求めるだろうしシステマティックリスクの影響が少ない株式には少ない収益率を要求するだろう。　　　　
　ここで個別株式が持つシステマティックリスクの大きさをどのように測定するかが問題となるが、その前に市場ポートフォリオの分散について検討してみる。

市場ポートフォリオの収益率と分散
(computing the mean and variance of the market portfolio return)

手始めに市場（マーケット）ポートフォリオの分散を計算してみる。A株とB株から成るポートフォリオでW_A,W_Bを投資比率(weight)、μ_AはA株の期待収益率(return)、μ_BはB株の期待収益率、μ_Mは市場ポートフォリオの期待収益率とする。
市場ポートフォリオの収益率(return of the market portfolio)は
　μ_M＝　W_Aμ_A＋W_Bμ_B　　　で表せる。　　　　　　　　
共分散(covariance)はCOVの記号を使って、COV(μ_M,μ_M)のように表示する。例えば、COV(μ_M,μ_M)は市場ポートフォリオの分散そのものを意味し、COV(μ_A,μ_M)はＡ株収益率と市場ポートフォリオ収益率の共分散を表す。

設例を改めて表にまとめると以下のようになる。



市場ポートフォリオの分散を計算するには、行列演算を使うが、計算過程を表にすると以下のようになる。（行列演算については　エクセルで簡単な行列演算（３資産ポートフォリオ分析のために）　で使い方をまとめてある。）　



市場ポートフォリオの分散は投資比率から成る列ベクトルを分散共分散行列に乗じ、次に、その結果に投資比率行ベクトルを乗じて分散０．７０３４７を計算している。ここで注目すべきは、分散共分散行列に列ベクトルを乗じている部分である。その箇所に注目して、計算過程を図表にすると以下のようになる。



この計算過程で得た列ベクトルはＡ株と市場ポーフォリオの収益率の共分散、およびＢ株と市場ポーフォリオの収益率の共分散の２つ共分散を暗黙のうちに計算している。
つまり。Ａ株と市場ポーフォリオの収益率の共分散＝.407272
＝0.64*0.2727+0.32*0.7273
Ｂ株と市場ポーフォリオの収益率の共分散＝0.814545
＝0.32*0.2727+1*0.7273
から成る列ベクトルとなっている。この列ベクトルに投資比率ベクトルを乗ずると市場ポートフォリオの分散0.70347を得る。つまり市場ポートフォリオの収益率データを明示的には与えなくても暗黙のうちに市場ポートフォリオの収益率と個別株式の収益率の共分散が計算される構造となっている。
　この点をもう少し詳しく考えてみる。共分散については幾つかの計算公式があり、以下の2つの公式を利用する。証明などはネットで検索すれば数学専門サイトなどで示されている。

ここで、 ｃは定数(constant)、X、Y、Z　は確率変数(random variable)とする。

COV(cX,Y)=cCOV(X,Y)
COV(X,Y+Z)=COV(X,Y)+COV(X,Z)

例えばＡ株について0.40727を計算する箇所は数式で示すと以下のように整理される。






このようにして 共分散の計算公式を使って式を整理すると市場ポートフォリオと個別株式の収益率の共分散が導ける。この関係は2株に限らずＮ個の株式の場合にも同様に計算できる。

以上から個別株式と市場ポートフォリオの共分散をシステマティックリスクの尺度として使うことが思いつく。市場ポートフォリオの分散に対する共分散の割合が大きい株式はシステマティックリスクが大きいと判断するわけである。
β_A=COV(μ_A,μ_M)/COV(μ_M,μ_M)　で表せば
β_A=0.40727／0.70347=0.5789 を得る。このβを使って個別株式の収益率の均衡式 で表したのがＣＡＰＭである。
やや天下り的になるが　個別株式の期待収益率をμ_ｉ、無リスク資産収益率をｒ_ｆとすると
μ_ｉ＝ｒ_ｆ＋（μ_Ｍ－ｒ_ｆ）・COV(μ_A,μ_M)/COV(μ_M,μ_M)
＝ｒ_ｆ＋（μ_Ｍ－ｒ_ｆ）β_ｉ　
という証券市場線（ＳＭＬ）で個別株式の収益率とリスクの均衡関係を表せる。この均衡関係式は

と呼ばれている。式の導出過程は少し面倒な計算になるので末尾に補足と示しておく。


Ａ株とＢ株の設例では、 すでに接点ポートフォリオである市場ポートフォリオの収益率や分散は計算済みなので、市場ポートフォリオとＡ株とＢ株の共分散も計算できているのでβも計算できる。




μ_A＝ｒ_ｆ＋（μ_Ｍ－ｒ_ｆ）β_ｉ　=0.02＋(0.05455-0.02)x0.578947=0.04

まさに証券市場線（SML）上にあることが分かる。ここで注意すべきは市場ポートフォリオが接点ポートフォリオの投資比率と同じ場合に上記の均衡が成りたつが、もし市場ポートフォリオの投資比率がこれと異なって例えばA株５０％、B株５０％だとμ_A =0.04にはならない。市場ポートフォリオの構成比率が接点ポートフォリオの構成比率（A株０．２７２７，株０．７２７２）と異なるからである。

証券市場線（SML)図解
Ａ株のＳＭＬをグラフにすると以下のようになる。




Ａ株のβとＢ株のβに各投資比率を乗じて合計すると１になる。
0.5789×0.2727＋1.1579×0.7273=1
β_ＡW_A＋β_ＢW_B＝１
つまり市場ポートフォリオMそれ自身のβは１となる。

話の流れは次のようになる。まず、市場（マーケット）ポートフォリオＭ(market portfolio)に（１－ｘ）、個別株式ｉにｘ投資するポートフォリオｐを編成する。株式ｉは当然に市場ポートフォリオに含まれている。市場ポートフォリオは接点ポートフォリオであり効率的ポートフォリオであるが、ポートフォリオｐ(inefficient portfolio)はわざわざ株式ｉをつけ加えており非効率的なポートフォリオになっている。そのためグラフでは青色で示した市場ポートフォリオの効率的フロンティアを下回る位置での赤色の双曲線で示されている。ただ、ｘ＝０　つまり株式ｉの投資比率がゼロの時は市場ポートフォリオと同一になる。その箇所はグラフ上のＭになる。



非効率的ポートフォリオｐについて期待収益率の標準偏差に対する変化を調べて.点Ｍでの傾きを得たい。そのため一手間かけてポートフォリオｐの期待収益率、およびその標準偏差についてｘで微分してｘ＝０の点での傾きを計算する。この傾きはＭでは資本市場線が通っているので資本市場線の傾きとも一致しなければならない。それを数式で示せば以下のようになる。



ポートフォリオｐの期待収益率と標準偏差は次のようになる。


ポートフォリオｐの期待収益率の標準偏差に対する変化を調べて.点Ｍでの傾きを得たい。分子と分母を数式処理しやすくするために少し変形し、xを媒介変数として、それぞれｘで微分する。



上式の前半部分は標準偏差の定義そのものなので

下記のように簡略化できる。そこでｘ＝０　での式を求める。


ｘ＝０の箇所ではポートフォリオｐと市場ポートフォリオＭは同一となるので分散も等しくなる。



点Ｍでのポートフォリオｐの傾きは資本市場線の傾きと一致するはずなので両者の傾きが等しいとして式を整理するとＣＡＰＭの算式を得る。



この導出過程は　William F,Sharpe,Gordon J. Alexander,Jeffery V. Bailey  INVESTMENTS  (1998) Prentice-Hall,Inc を参考にした。この本はファイナンスの基本書だが第９章のＣＡＰＭのプロローグ部分で仮定(assumptions）について少し言及されている。資産がどのように価格付けされるかを見るためにはモデルを作らなければならない。この作業は複雑な状況を抽象化し最も重要な要素に焦点を当て単純化する過程である。成功するモデル構築のためには仮定は単純である必要がある。仮定の合理性は大きな問題ではない。そしてフリードマン（Milton Friedman)の言葉を引用して仮定が現実的かどうかより良い近似値や予測を生み出せるかが重要だといった趣旨のことが述べられている。アカデミックな世界ではどのように仮定をたてて理論を構築するのか少し興味があったので引用されていたFriedmanのEssays in the Theory of Positive Economics 1953　をちょっとだけ調べてみた。しかし残念ながら英文があまりにも難しすぎてお手上げだった。腕に覚えがある好学家は一読されてみたら。