日次の株価変動分析　ローカル・リニア・トレンド・モデルを使って株価予測　

状態方程式　２

カルマン平滑化した傾き(slope)のグラフを描いてみる。

微少な数値の変化にもかかわらずグラフでは拡大鏡を通して見るようにスロープが大きく変化しているように見えてしまう。しかし株価が2000台なのでスロープの変化は非常に微少の範囲である。1997年の春頃がスロープは底を打って、その後は上向いている。この微少な傾きの変化をどの様に読むかはファンダメンタル分析やマクロ経済分析など追加的検討が必要になるだろう。

このスロープの累積和はトレンドを表すので、次にトレンドを描いてみる。

ほぼ安定して積みあがっている。

レベルからトレンドを除外したレベル（仮にpure levelと呼ぶ）と実際の株価とを比較してグラフにしてみる

1997年の春頃からトレンドの影響が大きく現れているように見える。市場全体のトレンドの変化、その感応度の変化、銘柄選好の流れの変化などの因果関係を探るためにファンダメンタル分析が必要となるだろう。 

ここまではカルマン平滑化(Kalman smoothed estimate)推定値のため全体的に円滑なグラフであった。
　ここからはカルマンフィルター化推定値(Kalman filtered estimate)にようグラフを描いてみる。フィルタリングは現時点で利用可能な情報に基づいて現時点の状態変数を推定する。（１期前に得た当期の予測値を最新のデータで更新する。新しい観測値を入手する毎に状態変数を推定し直すアルゴリズムになっている。（カルマンフィルターの初歩的な計算例　参照）

状態空間モデルを使うと大体、過去の実績値とモデルによる予測値は近似して、グラフではほぼ重なって見えて識別しにくい。

傾きのフィルター化推定値をグラフにしてみる。

データを収集しはじめた初期頃は不安定な動きをしているが、しばらく時間がたつとなだらかな傾向が見え、1997年春頃が底で、その後は上昇傾向に見える。平滑化された推定値よりは新しいデータに対する感度がよくも見える。

実際の株価とトレンドを除去したレベルを比較すると以下のようになる

1997年の春頃に底を打って、その後は上向いている。トレンドの変化の理由などはファンダメンタル分析やマクロ経済分析などで探ることになるだろう。

株価予測について

カルマンフィルターのアルゴリズムで常に1期先の予測値が計算される。今日現在が150日目なのでカルマンフィルターでは１期先の予測値をどの様に推定しているか確かめてみる。サンプルデータでは今日は1997-06-17で終値は2581である。one-step-aheadの予測値は

trendmodel5$a[,"level"][151]

から　2584.855　と計算されている。ここで株価予測については少し注意が必要だろう。台風予測では北東に進むと予測されて台風が裏をかいてやろうと北西に進む心配は全く無い。しかし多数の思惑に左右される株式市場では似たような手法の予測が出れば複雑な反応を惹起して予測を難しくする可能性がある。金融工学で著名な学者John C. Hullは有名なテキスト（参考文献4）の最終章でデリバティブ関連の過去の金融事件から学ぶべき教訓をまとめている。例えば、人は市場に勝てる(市場の先行きを正確に読める)などと思わず、事前に定めたリスク許容度（ポジションの大きさ）を真面目に守るべきと述べている。リスクを取る場合には肝に銘ずべきポイントだろう。LTCMのような過去の事案を見ると簡単な教訓を守れるかどうかは全く知能指数等とは関係がないように感じる。
 　状態空間モデルを使うときには機械的な予測よりも、ファンダメンタル分析やマクロ経済分析などの追加的な分析のポイントを探るために利用する方がよいかもしれない。ここでは株価についてローカルレベルモデルを 試みに適用してみたが、経済指標などで後日によく修正される傾向のある指標にローカルレベルモデルを適用して見えざる真の指標値を探るのも面白いかもしれない。

拙文を書くために使ったRコードは以下の通り。

library(KFAS)
library(xts)
library(TTR)
data(ttrc)　　　## 仮想の企業　ttrc社　の株価データ

subdata<-ttrc[3001:3150,1:6] #datasetのうち3001番目から150個のサンプル抽出



y<-as.xts(subdata)
ny<-length(y)
### 仮想の企業　ttrc社　 の　終値　1996/11/12-1997/06/17 日次　終値
# daily closing 1996/11/12-1997/06/17　　　サンプル数　150
idx<-index(y)
### 感覚的に円で考えると安く見えるので100倍にしてみた。
y<-y[,"Close"]*100
plot(y,cex.axis=0.6,cex.main=0.6,main="株価と50日移動平均",
main.timespan=F)

lines(SMA(y, n = 50), on = 1, col = "red",lwd=2)
addLegend("topleft", on = 1,
legend.names = c("株価", "50日移動平均"),
lty = c(1, 1), lwd = c(2,2),
col = c("blue", "red"),cex=0.6)

###
##### SSModel のｙ　は数値ベクトルにしておく。warning回避のため。

model5<-SSModel(as.vector(y) ~ SSMtrend(degree=2,Q = list(matrix(NA), matrix(NA))),
H=matrix(NA))

fitmodel5<-fitSSM(model5,inits = c(0,0,0),method="BFGS")

fitmodel5$model["H"] ### 観測誤差の分散 の推定値
### 観測誤差の分散
fitmodel5$model$H

fitmodel5$model$Q ##状態誤差の分散の推定値

## 水準の変動(1,1) トレンドの変動(2,2)

fitmodel5$model["Q"][1,1,1] ## 水準の誤差項の分散の推定値

fitmodel5$model["Q"][2,2,1] ## slopeの誤差項の分散の推定値


trendmodel5 <- KFS(fitmodel5$model)



##################### カルマン平滑化推定値
#####################

#### 切片level 抽出


levelsmth<-trendmodel5$alphahat[,"level"]


levelsmth<-cbind(as.xts(idx),as.vector(levelsmth))
head(levelsmth)
class(levelsmth)
plot(levelsmth,ylab="level", main="カルマン平滑化　level",
main.timespan=F,
xlab="",cex.axis=0.6,cex.main=0.6)
lines(SMA(y, n = 50), on = 1, col = "red",lwd=2,lty=1)
addLegend("topleft", on = 1,
legend.names = c("level","50日移動平均株価"),
lty = c(1,1), lwd = c(2,2),cex=0.8,
col = c("blue", "red"))

##### slope
###### slope の抽出

slopesmth<-trendmodel5$alphahat[,"slope"]
slopesmth<-cbind(as.xts(idx),as.vector(slopesmth))

plot(slopesmth,xlab="",type="l",
main.timespan=F,
cex.axis=0.6,cex.main=0.6,ylab="",
main="smoothed slope")
addLegend("topleft", on = 1,
legend.names = c("smoothed slope"),
lty =1, lwd = 2,cex=0.8,
col = "blue")


##### slope の累積和=trend
trendsmth<-cumsum(trendmodel5$alphahat[,"slope"])
trendsmth<-cbind(as.xts(idx),as.vector(trendsmth))

plot(trendsmth,xlab="",cex.axis=0.6,cex.main=0.5,
main="smoothed trend(slopeの累積和)",
main.timespan=F,ces.main=0.6,
ylab="trend")


######トレンドを含まないlevel
purelevel<-levelsmth-trendsmth
plot(purelevel,xlab="",cex.axis=0.6,cex.main=0.6,
main.timespan=F,
main="トレンドを含まない純粋level",ylab="pure level")
lines(y, on = 1, col = "red",lwd=2,type="l")
addLegend("bottomleft", on = 1,
legend.names = c("pure level", "株価"),
lty = c(1, 1), lwd = c(2,2),
col = c("blue", "red"))


################　filtered estimete att
############### att フィルター化 filtered estimate
#### levelの抽出　フィルター化

levelfiltatt<-trendmodel5$att[,"level"]

####
levelfiltatt<-cbind(as.xts(idx),as.vector(levelfiltatt))

plot(levelfiltatt,ylab="level",xlab="",
cex.axis=0.6,cex.main=0.6,col="red",lty=3,lwd=2,
main.timespan=F,
main="フィルター化levelの推移")
lines(y, on = 1, col = "blue",lwd=2,lty=3)
addLegend("topleft", on = 1,
legend.names = c("filtered level", "株価"),
lty = c(3, 3), lwd = c(2,2),
col = c( "red","blue"),cex=0.6)



#### slope の抽出　フィルター化

slopefiltatt<-trendmodel5$att[,"slope"]
####
slopefiltatt<-cbind(as.xts(idx),as.vector(slopefiltatt))
plot(slopefiltatt,ylab="slope",xlab="",
cex.axis=0.6,cex.main=0.6,col="blue",ity=1,lwd=2,
main.timespan=F,main="フィルター化 slopeの推移")
addLegend("topright", on = 1,
legend.names = c("filtered slope"),
lty = 1, lwd = 2,
col = "blue",cex=0.6)

##### slope の累積和=trend
trendfiltatt<-cumsum(trendmodel5$att[,"slope"])
trendfiltatt<-cbind(as.xts(idx),as.vector(trendfiltatt))



plot(trendfiltatt,xlab="",main.timespan=F,
cex.axis=0.6,cex.main=0.6,col="blue",ity=3,lwd=2,
main="slopeの累積和=トレンド",ylab="trend")
addLegend("topleft", on = 1,
legend.names = c("slopeの累積和＝トレンド"),
lty = 1, lwd = 2,
col = "blue",cex=0.6)


######トレンドを含まないlevel

purelevelfiltatt<-levelfiltatt-trendfiltatt

plot(purelevelfiltatt,xlab="",ylab="",
main.timespan=F,
cex.axis=0.6,cex.main=0.6,col="blue",ity=3,lwd=2,
main="フィルター化 level（トレンド除外）")
lines(y, on = 1, col = "cyan",lwd=2,lty=1)
addLegend("bottomleft", on = 1,
legend.names = c("トレンドを除外したlevel","株価"),
lty = c(1,1), lwd = c(2,2),
col = c("blue","cyan"),cex=0.6)


##カルマンフィルターの１期先の予測値
#サンプルデータ数は150，one-step ahead は151番目
trendmodel5$a[,"level"][151]
## 150日目の時価は2581
y[150]

参考文献
1.ブロックウェル/ デービス 著 逸見功,田中稔,宇佐美嘉弘,渡辺則生 訳 (2004)入門時系列解析と予測（改訂第２版） シーエーピー出版株式会社(Brockwell and Davis Introduction to time series and forecasting Springer-Verlag)

2. cran.rproject.org/web/packages/KFAS/ vignettes/KFAS: Exponential Family State Space Models in R Jouni Helske

3.三中信宏 再現可能性ははたして必要なのか： p 値問題から垣間見る科学研究の多様性 計量生物学Vol. 38, No. 2, 117–125 (2017)

4.John C Hull(2003) Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice Hall

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