確率密度関数f(x)は区間[a,b]の場合は f(x)=１／(ｂ－ａ)、
それ以外の区間では０
と書かれている。上記の例ではa=０、ｂ=３６０となるので
f(x)=１／３６０ という定数になる。この１／３６０は確率密度であって確率ではない。確率は確率密度を一定の区間で積分して求めなければならない。 上記の例ではｘ＝６０の確率を知りたいので定積分してみると
二変数の一様分布（周辺分布、たたみ込み）の復習をしてみる
次に２変数の一様分布について考えてみる。ｘとｙの２個のサイコロを同時に振って出る目の分布を考える。サイコロｘの目は１から６までで、公正なサイコロであれば、目の出方は１／６の一様分布をしている。サイコロｙも同様である。ｘとｙの組合せは６×６＝３６通りある。つまり２個のサイコロを同時に振ったときの同時確率は１／３６の一様分布をしている。表にまとめれば次のようになる。
ｘとｙの周辺分布は１／６の一様分布で、ｘとｙの同時分布は１／３６の一様分布になっている。ｘとｙは独立しているのでｘの周辺分布×ｙの周辺分布＝ｘ、ｙの同時分布の関係が成り立っている。この話を少しアレンジして２個のサイコロを同時に振ったときの出る目の和の分布を考えてみる。つまりｘ＋ｙの確率分布はどのようなものになるかを見てみる。これを表にまとめると次のようになる。
２個のサイコロの和は最小値が１＋１＝２で最大値は６＋６＝１２の間になる。各目の合計ｚは７となる確率が最大となっている。度数分布表にまとめて整理すると 次のようになる。
サイコロｘ、ｙの目は一様分布に従う確率変数で目の和は確率変数ｘとｙの合計（ｚで示す）も確率変数である。確率変数の話になると面倒なことに２＋３＝５といった計算が出来ない。ｘもｙも一様分布といった確率分布に従って実現値が出てくるので単純な足し算が出来ない。幸にもｘとｙが独立であればたたみ込み（convolution）といった数学的な操作をしてｘ＋ｙ＝ｚの確率分布を求めることが出来る。（なお、数学的な話は数学のテキストや数学専門のサイトで正確な説明を参照されたい）上記の表はたたみ込みをしてｚの確率分布を求めたものである。直感的に考えるとサイコロも目の出方は均一なので、その合計値も２から１２までも等確率になりそうなものだが、意外にもｚ＝７を頂点とする三角分布になっている。サイコロの話というと子供の宿題を手伝っているようで面白くないという人もいるかもしれないが、サイコロをｘ株とｙ株と読み替えれば少し現実味が出てくる。ｘ株とｙ株は何らの依存関係もなく独立に変動し、それぞれの株価は１千円から６千円の間でまんべんなく変動するレンジ相場の状態にあるとすれば、月末時点での手持ちポートフォリオ（ｘ＋ｙ）はどのような確率分布になるだろうかという問題になる。確率分布から見ると７千円の確率が高いのではと言うことになる。
確率積分変換について視覚的に考えてみる
一様分布については、見方を変えると各種の確率分布（累積分布）は一様分布に射影されることがわかる。統計ソフトＲには様々な確率分布関数が装備されているので標準正規分布を例にとって見てみる。よくテキストの出てくるグラフは釣鐘状の確率密度関数のグラフだが、ここでは下記のような累積密度関数（確率分布）のグラフを見てみる。 なお、ｚ値は（ｘ－平均値）／標準偏差でｚ変換された（標準化または規準化されたとも言う）数値を示す。
この逆関数は以下のようなグラフとなる。数学的にややこしい話は抜きにして言えば、逆関数とは、例えば f(x)=7＊Ｘ の逆関数はf⁻¹(x)=1/7＊Ｘ となり、きれいな数式で表せる。しかし正規分布関数は複雑で、その逆関数はきれいな数式では表せないので数値計算で近似計算することになる。幸にも、統計ソフトではそのような計算をしてくれる関数が準備されており、Ｒではqnormはpnormなどの関数が使える。
正確に描けばｘの変域は－∞から∞と左右に広がっているので教科書の紙面を無限に大きくはみ出してしまう。人間には無限は自由に扱えないので数学的には何らかの工夫をして近似計算することになる。ｘ＝－４辺りでもpnorm(-4)≒ 3.167124e-05と実用上は十分にゼロに近い。標準正規分布（累積分布）のグラフのｙ軸の方を見ると累積分布はゼロから１までの間で一様分布していることが分かる。平均値０近辺は密度が高いところだが、その当たりのカーブは急な曲がり方をしており、また密度が低い下部と上部の曲がり方はカーブが平坦となっており、万遍なく[１－０]の区間に分布していることがわかる。一様分布で区間（０－１）の任意の数値、例えば８．４１３を選んだとすればｙ軸から緑色の線がＦ(x)と交叉する点を求め、そこから赤色の線がｘ軸に交叉する点が標準正規分布の対応するｚ値（ここの例では１）となる。つまり一様分布の数値から正規分布の数値に変換したことになる。この原理を使えば一様分布乱数から様々な分布の確率変数の乱数を生成することができる。これは確率積分変換と呼ばれている。同じことだが逆関数からも同様の計算ができる。
逆関数の場合はｘ軸からみると区間（０－１）で一様分布していることがわかる。Ｒではqnormはpnormの逆関数となっておりpnorm(1)=0.8413, qnorm(0.8413)=0.9998≒１となり、またpnorm(qnorm(0.8413)＝０．８４１３と計算できるのでこの関係を確認できる。これはシミュレーションの基本的な考え方となっており、一様分布と特定の分布関数を与えればどの様な分布も生成できるという意味で一様分布は基本的な役割を果たしている。
ほんの少しだけ、コピュラ（接合分布関数）をグラフで眺めてみる
ここで再びサイコロの話しに戻るが、ｘとｙは相互の独立という前提での話だった、ｘとｙに何等かの依存関係があり、例えばｘが小さい数の目が出るときにはもう一方ｙも小さい数の目が出る傾向があるような場合にはどのように表現できるのだろうか。確率論のテキストでは同時分布から周辺分布を導出する方法は書かれているが、独立でない周辺分布から同時分布を求める方法はあまり言及されていないようだ。しかし、うまい具合に、１つ考え方としてコピュラ（接合分布関数）を使う方法があるようだ。コピュラについては数学的な定義は難しいが、 ｎ個の変数でなく２変数の例に狭めて考えると、大ざっぱに言えば、ｘとｙの２変数からなる同時分布関数（累積分布）H(x、y)があり、その周辺分布関数(累積分布)を一様分布であるF(x)とG(y)とすると、 H(x、y)＝C(F(x),G(y))が成り立つようにする接合分布関数（コピュラ）が存在することが知られている。イメージで表すと同時分布＝コピュラ＋周辺分布 の関係が成り立つようにする接合関数が存在することを示している。どんな関数でも接合関数として使えるというわけではなく、連続性とか共単調(comonotone)とか単調変換の下での不変性とか様々な数学的な特性を備えていることが必要となる。このような数学的特性を備えた接合関数としては正規コピュラ、ｔコピュラ、アルキメデス型コピュラなどが知られている。数学的にはスクラー（Sklar）の定理などが根拠となっているようだが、詳細は専門書を参照されたい。周辺分布F(x),G(y)も上記のグラフで示した確率積分変換を使えば一様分布F(x)=U,G(y)=V が求められる。従って、その逆関数 x=F⁻¹(U), y=G⁻¹(V)も得られる。ここでH(x、y)のx,yにx=F⁻¹(U), y=G⁻¹(V)をそれぞれ代入すれば同時分布関数H(x,y)のコピュラC(u,v)が得られる。つまり、C(u,v)=H(F⁻¹(U),G⁻¹(V))。数式だけでは分かりにくいので、簡単な計算例でＲを使って体験的な学習すると次のようになる。例えば正規分布に従う２変数ｘ、ｙがあり両者の相関係数が０．７とする標準正規乱数を１０００個生成する。それを２次元グラフにすればｘとｙの同時正規確率分布H(x,ｙ)の散布図が下記のように描ける。
参考までに、相関係数が０．７の２変数の標準正規同時密度と累積分布のグラフを見ておく。後ほどに触れるが正規コピュラの同時密度や同時分布のグラフとは異なったものになっている。２次元標準正規同時密度を天空から見下ろすと等高線が描ける。完全無相関つまり相関係数が０の時には楕円の特殊形である円（真円）の等高線が描け、相関係数が０．７であれば楕円の等高線となる。詳細は統計学のテキストを参照されたい。
標準正規変数の変域は理論的には(－∞，＋∞)であるが［－４，４］で近似計算している。先ほど確率積分変換に使った１次元正規分布の２次元バージョンのグラフとなっている。２次元標準正規密度関数を(－∞，＋∞)の変域で２重積分していくと最終的に１に収束していくイメージを２次元標準正規同時分布のグラフは表している。
次にｘとｙについて上記で述べた確率積分変換をしてC(u,v)求めてグラフにすると以下のようになる。
周辺分布も合わせてグラフにしてみるとu,vは各周辺分布が一様分布となっていることが分かる。
同時分布のグラフを見ると中央部でドットが蜜となっているが、コピュラでは左下（座標軸の０辺り）と右上（座標軸の[1,1]）辺りでドットが蜜となっており比較的そこら辺りで依存関係が比較的に高いように見える。このC(u,v)の同時分布は[０－１]の立方体の中にあるが一様分布ではない。
Rのライブラリーのcopulaを使うと、上記と同じ操作が簡単にでき、しかも確率密度関数や累積分布のグラフも下記のように表示できる。
まず標準正規分布に従う相関係数０．７の２変数の乱数を一様分布に変換して、それを正規コピュラ乱数として生成させた数値をグラフにしてみる。
下記のように、この生成された乱数は前者の方法で生成したものと同一となっている。
> head(df1)
u v
1 0.67831670 0.66337274
2 0.07438501 0.07192181
3 0.01026384 0.34820866
> head(uu)
[,1] [,2]
[1,] 0.67831670 0.66337274
[2,] 0.07438501 0.07192181
[3,] 0.01026384 0.34820866
この正規コピュラについての密度関数(PDF)をグラフにすると下記のようになる。
同様にして累積分布(CDF)は下記のようになる。
上記の作業は正規分布乱数を発生させたり、また正規分布関数に投げ込んだりして無駄な作業に見えるかもしれないが、最初に正規分布乱数を発生さたときには、その乱数は正規分布すると共に、その周辺分布も正規分布をしている。コピュラで接合するには周辺分布は一様分布にする必要がある。標準正規変数の変域は－∞から∞であるが、それを変域０から１までの一様分布変数にマッピングして一様分布の周辺分布を生成し、その一様分布を接合関数としての適格性を備えている多変数正規分布関数で接合して、正規コピュラという同時分布を生成している。グラフから見ても一目瞭然で正規コピュラと言っても正規分布の密度関数や累積分布関数の形とは全く異なっており、変数の変域も「０，１」の範囲になっている。表現が数学的に適当かどうかわからないが、素人としてそのようなイメージをもっている。
コピュラについては一般教養書的な書籍が出版されていないようなので、なかなか学習しがたいが、何か大きな可能性を持っているように感じる。一様分布は確率分布の世界では線形代数の単位行列のような意味合いを持っているようで、様々な分布を一様分布に変換したり、あるいは別の分布に再変換したりして、それをまたコピュラを使って新しい同時分布を作り出すといった作業が出来るようだ。以下はあまり参考にならないと思うが一応、拙文を書くのに使ったRコードを示している。