誤差関数と標準正規分布関数のグラフ比較

F(z) とerf(z)の関係

標準正規分布関数 $F(z)$

$$F(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$$

誤差関数 $\text{erf}(z)$

$$\text{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z}e^{-u^{2}}du$$

$$F(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)$$

$$\text{erf}(z)=2F(z\sqrt{2})-1$$

F(z)からerf(z) への変換

$F(z)$ の積分区間は $-\infty$ から $z$ までを「$-\infty$ から 0 まで」と「0 から $z$ まで」の2つに区分する。

$$F(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{0}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{z}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$$

最初の項は「$-\infty$ から 0 までの面積」で、左右対称な正規分布の左半分を表すので 0.5（つまり $\frac{1}{2}$）

$$F(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{z}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$$

後半の項を置換積分で積分の指数部分（$-\frac{t^{2}}{2}$）を、誤差関数の形（$-u^{2}$）に合わせるため変数変換して

$$u=\frac{t}{\sqrt{2}}$$

と置くと $\frac{t^{2}}{2}=u^{2}$

両辺を微分すると、 $du=\frac{1}{\sqrt{2}}dt$

$$dt=\sqrt{2}du$$

後半の項に代入すると

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{z}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\frac{z}{\sqrt{2}}}e^{-u^{2}}(\sqrt{2}du)$$

分母の $\sqrt{2\pi}$ と 分子の $\sqrt{2}$ が約分されて

$\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ になる。

$$=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\frac{z}{\sqrt{2}}}e^{-u^{2}}du$$

分子と分母に 2 を乗じて誤差関数にする。

$$=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\frac{z}{\sqrt{2}}}e^{-u^{2}}du\right)$$

カッコの部分は、引数が $\frac{z}{\sqrt{2}}$ のときの誤差関数 $\text{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)$ となる。

$$=\frac{1}{2}\text{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)$$

以上から次の公式が導出される。

$$F(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)$$

erf(z)から F(z) への導出過程

$$F(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)$$

の式の変数 $z$ を、$z\sqrt{2}$ に置き換えると

$$F(z\sqrt{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{erf}(z)$$

両辺を2倍する。

$$2F(z\sqrt{2})=1+\text{erf}(z)$$ $$\text{erf}(z)=2F(z\sqrt{2})-1$$

数学的にもっと正確な解説は数学専門サイトやウィキペディアなどを参照されたい。